Om alle inhoud te kunnen zien hebt u de actuele versie van Adobe Flash Player nodig.

Home Nieuw CV's Taal en zo Spelen met taal TaalArchiefIndex TaalArchief-1 TaalArchief-2 TaalArchief-3 TaalArchief-4 TaalArchief-5 TaalArchief-6 TaalArchief-7 TaalArchief-8 TaalArchief-9 Taal Archief-10 TaalArchief-11 TaalArchief-12 Eerderegedichten Gedichten 1-6 Gedichten 7-12 Gedichten 13-18 Gedichten 19-24 Gedichten 25-30 BoekbesprekingArchiefIndex Boekbespreking BoekenArchief-1 BoekenArchief-2 BoekenArchief-3 BoekenArchief-4 BoekenArchief-5 BoekenArchief-6 BoekenArchief-7 BoekenArchief-8 BoekenArchief-9 BoekenArchief-10 "Wiskunde" Cijfers Getal van het beest cijfersGedicht CijfersArchiefIndex Archiefcijfers1 Archiefcijfers2 Archiefcijfers3 Archiefcijfers4 Archiefcijfers5 Archiefcijfers6 Archiefcijfers7 Archiefcijfers8 Archiefcijfers9 Archiefcijfers10 Archiefcijfers11 

Archiefcijfers1

Er zijn in de wiskunde veel getallen die een eindeloos aantal cijfers achter de (decimale) komma kennen. Ook zijn er voorbeelden van oneindige reeksen van logisch bij elkaar horende getallen, die voor een deel al bekend zijn, maar omdat het er nu eenmaal oneindig veel zijn, nooit tot een eind komen. Priemgetallen zijn daarvan zo'n voorbeeld. Het is al lang geleden door Euclides bewezen dat er een oneindig aantal priemgetallen bestaat.Door allerlei supercomputers in te zetten worden steeds grotere priemgetallen berekend. Het record staat nu op twee (gevonden en geverifieerde!) priemgetallen van (ieder) meer dan 10 miljoen! cijfers. Let wel: deze enorme getallen zijn dus alleen deelbaar door 1 en door zich zelf.In een volgende aflevering in deze rubriek kom ik nog terug op priemgetallen.Wellicht het bekendste getal met een oneindig aantal cijfers achter de komma is : Pi De omtrek van een cirkel is bijvoorbeeld 2 keer pi keer de straal (R).Omtrek= 2 x Pi x R. Het oppervlak van een cirkel is gelijk aan pi maal de straal van de cirkel in het kwadraatO= Pi x R x R Voorbeeld: een cirkel met een straal van 5 meter (middellijn van 10 meter) heeft een oppervlak van Pix5x5=Pi x 25, ongeveer 78,5 vierkante meter. Bedenk dat, omdat Pi een oneindig aantal cijfers achter de komma kent, een oppervlak of een omtrek van een cirkel met een gegeven straal nooit exact te berekenen is.Het berekenen van pi is een al eeuwenoud probleem, waar inmiddels heel veel oplossingen voor zijn bedacht. Heel bekend is de benadering dat pi ongeveer gelijk is aan 22/7 = 3,14285714…Maar…. Pi is een irrationeel getal, dat wil zeggen dat het niet door een breuk (met gehele getallen) volledig exact is weer te geven. 22/7 komt aardig in de buurt en is in de praktijk best bruikbaar. Wil je het veel nauwkeuriger weten, gebruik dan het Chinese 355/113 = 3,1415929 van Tsu Ch'ung Chih uit ca. 480.Vanwege het feit dat pi irrationeel is bestaat er dus geen breuk die pi precies weergeeft en daarom moet er dus wat anders bedacht worden.Talloze formules zijn bedacht, heel simpele, elegante zoals: Pi /4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11……(Leibnitz)of Pi/2 = 2/1 x 2/3 x 4/3 x 4/5 x 6/5 x 6/7…..(Wallis)

Ezelsbruggetjes voor de decimalen van pi, zie HIER Pi-gedicht door drs.P., zie HIER Je geboortedatum in pi, zie HIER

Archief "Wiskunde"(2: oneindig veel (2) Samenvatting

Archief "Wiskunde" (1): Oneindig veel (1) Korte Samenvatting

Fibonacci, of wel Leonardo van Pisa (1170-1250) was een fameus wiskundige. Persoonlijk vind ik zijn grootste prestatie het invoeren van het cijfer 0. Daarmee werden de onhandige Romeinse cijfers die nog tot de dertiende eeuw in het westen in gebruik waren en waarmee nauwelijks te rekenen valt vervangen door het het Indiase systeem, dat we nu nog hanteren. Het werd gepubliceerd in het beroemde Liber abaci, waarin ook de Fibonacci-reeks is beschreven, waarmee hij zich eeuwige roem verwierf. In dit werk werd de volgende vraag opgeworpen:Zet een konijnenpaar in een gesloten ruimte. Hoeveel paren konijnen zal dit paartje voortbrengen, als we er vanuit gaandat elke maand ieder paar konijnen een nieuw paar werpt dat vanaf de tweede maand ook zelf weer vruchtbaar is en dus voor nakomelingen kan zorgen. Dit heet het konijnenprobleem. Hij gaf zelf de oplossing, de populatie ontwikkeld zich als de reeks van Fibonacci:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 etc.Elke volgende term is de som van de twee vorige: 1+1=2, 1+2=3, 3+5=8, 8+5=13 enzovoorts. Deze Fibonacci getallen kom je werkelijk overal tegen, google maar eens op Fibonacci en kunst, natuur, spiraal etc. Een paar sprekende voorbeelden:Een zonnebloem bestaat uit twee tegen elkaar indraaiende spiralen een van 34 zaadjes groot en een van 55 groot. Ook 55 en 89 komen voor. Een bloemkool heeft twee spiralen 8 en 5), een dennenappel voldoet ook aan Fibonacci-getallen (fib). Het aantal blaadjes aan een bloem is meestal een fib. Voorbeelden:Iris 3, Ridderspoor 8, Afrikaantje 13, Aster 21, weegbree 34, Asters 55 (en 89) etc. Ook het aantal blaadjes die in een spiraal om een stengel zitten voldoen aan de fib-getallen. Zo zijn er nog heel veel voorbeelden te noemen van plekken in het dagelijks leven waarbij de fib's van belang is, ook als spiraal zoals bij schelpen. Bijzonder (maar misschien toevallig?) ook in de muziek. Van Bartok is bekend dat hij de fib's in composities verwerkte. Wat dacht je trouwens van een octaaf op een piano: 2 witte en 5 zwarte toetsen, totaal 13, de zwarte toetsen zijn verdeeld in 2 en 3. Allemaal fib's!Het meest bijzonder is nog wel de relatie met de gulden snede. De gulden snede (divina proportia) is een verhouding die ook overal in het dagelijks leven te vinden is. Met name in kunst en architectuur kom je deze relatie tegen.Er blijkt een directe verband te bestaan met fib's!!

De ideale verhoudingen in architectuur en kunst houdt de mensheid al eeuwen bezig. Zo is er bijvoorbeeld de "ideale rechthoek" met een verhouding 8:5 of wel 1,6. Gustav Theodor Fechner, de beroemde pionier van de experimentele psychologie, toonde met honderden proefpersonen aan dat het merendeel de voorkeur gaf aan deze esthetisch mooiste verhouding. Euclides (365-305 vChr) heeft als eerste de gouden verhouding gedefinieerd:

G is een punt op een lijnstuk AB. Er moet nu gelden AB/AG = AG/GB. De verhouding (Phi) is eenvoudig uit te rekenen.

Phi= 1,61803398874989484820458683...tot in het oneindige! Deze Gulden snede is echt overal terug te vinden, zie bijvoorbeeld:

Het Parthenon (gemaakt o.l.v. Phidias, vandaar) is daarvan een mooi voorbeeld. Vooral ook in de Renaissance zien we in gebouwen de gulden snede terug,maar ook in de Romantiek, toen de gulden snede zijn huidige naam kreeg (1835). Talloze kunstenaars, waaronder Mondriaan, die veel ideale rechthoeken gebruikte en natuurlijk da Vinci onderkenden de schoonheid van de gulden snede. Ook het menselijk gezicht zou als knap zijn aan te merken als de lengte van de neus ten opzichte van de breedte voldoet aan de verhouding 1,6. Idem voor de afstand tussen de ogen en de breedte van het gezicht.En dan nu het verband tussen ogenschijnlijk twee verschillende zaken als konijnen fokken en schoonheid. Terug naar de Fibonacci rij.Het blijkt dat als je twee opeen volgende termen uit die rij op elkaar deelt het getal Phi steeds dichter benaderd wordt!

Deel je bijvoorbeeld term 6 door term 5, dan krijg je al 8/5= 1,6! Maar deel je term 40 door term 39 (102334155/63245986) dan krijg je: 1,61803398874989473640271811083.... Al op 16 decimalen nauwkeurig!! Wonderbaarlijk toch?

Ten slotte: wist je dat er ook fib-gedichten zijn? Klik HIER

ArchiefWiskunde